MNPのスムーズな移行について

現在auからmineoへのMNPを検討しております。

先日、auの店頭に行くと更新月が12月なので、12/1に解約手続きをしたほうが、12月分の定額通信料と解約金を支払わなくてよいと言われました。そこで質問なのですが、

auの解約、mineoの契約はmineoのSIMを使用したタイミングでしょうか？それ以前にSIMが届いていても、使用しなければその月(例えば11月分)の代金は発生しないのでしょうか？

なるべくコストがかからないように切り替えを検討しています。