ドコモから乗り換え　番号変えたい

順番にお答えしていきますね。

>>mineoのDプランだと、今使っているアイフォン６がそのまま使えるんですよね？

はい、そのままお使いになれますよ♪
ただし、APN構成プロファイル（簡単に申し上げると、mineoが発行した「ドコモの回線を使ってmineoと契約していいですか？」という許可証）をダウンロード・インストールする必要があります。
ヨッシーセブン様が仰るアプリ「mineoスイッチ」をApp Storeからインストールすれば、Wi-Fiを使う必要がなく、APN構成プロファイルをダウンロード・インストールすることができます。

>>MNPしなかった場合、今の携帯は使えなくなってしまいますか？

いいえ、ドコモ回線は生きています。
...ですので、更新月で解約するのを忘れないようにしてください。更新月までの期間がかなり先の場合は最低限の料金プランに変更しておきましょう。

>>現在使用している端末が使えるとして、mineoのSIMカードに入れ替えたら、どういう状態になるんでしょうか。

特に大きな変化はありません。
もちろん、これまでインストールしたアプリはそのままです...が、LINEは番号が変わることで、番号認証が必要になる場合があります。
サービス面では、My docomoに入るにはdアカウントとパスワードが必須になります。

あとは、強いて言うならば、
①LINEに登録しているメールアドレスが@docomo.ne.jpならば、@icloud.com（取得していれば）またはGmailといった、フリーメールに変更しておく
②iPhone標準のメールはプッシュ（受信ボックスにメールが来たらすぐ受信すること）ができないので、myMailなどプッシュで受信できるメールアプリをインストールする
の、2点はチェックしておきましょう。