auのXperiaからsoftbankのiPhoneへ

マイネオ民様、ご協力お願いします！

auで買ったXperiaをmineoのAプランで運用していました。
中古のSoftBank産のiPhone(simロック解除済)を入手したのですが…
この場合simカードサイズは同じなのですが差し替えだけでは動作しないのでしょうか？
試してみたところ、電話はかけられたのですがモバイルデータ通信が出来ませんでした。
これは端末の元キャリアがSoftBankなのに対してsimカードがAプランのものだからでしょうか？
simカードを替えるか、契約をSプランに変更すれば良いのでしょうか？？

無知ですみませんが、ご教授下さい！