追加申し込み

mineoのQ&A
Q.携帯電話番号ポータビリティー（MNP）で契約はできますか？
A.はい、携帯電話番号ポータビリティー（MNP）でご契約いただけます。
ただし、現在の携帯電話会社とのご契約とmineoの名義人が同一である必要があります。

ということなので、お母様名義のままではRiegon さん名義の回線に追加申し込みすることはできません。

なぜRiegon さんのeoIDに追加したいと思われているのですか。その理由にもよりますが、auのほうでRiegon さん名義に変更してからmineoにMNPすればよいと思います。

auのQ&A
Q.auスマートフォン／携帯電話を家族の名義に変更（譲渡）するには、どのような手続きが必要ですか？
https://www.au.com/support/faq/view.k1112050675/
A.「譲渡」手続きが必要になります。
「auショップ」「トヨタ au取扱店」で譲渡手続きを承ります。
現在のご契約者（譲渡者）・新しく譲り受けられる方（譲受者）のお二人でご来店ください。
※譲渡者が来店できない場合、譲渡者の▼委任状とご本人様確認書類（コピー可）をご持参いただくことにより、譲受者の来店のみで手続きができます。
手続きの際にお持ちいただくものなど、詳細はau HPの「譲渡・承継」をご確認ください。
※家族間譲渡の場合は手数料は不要です。

手数料が無料ですから、これがいいのではないでしょうか。