ログイン保持するには

既にhajime先輩のご投稿がベストアンサーになっていますので、私は、3rdパーティーのブラウザについて僭越ながら申し上げます。
ブラウザアプリなら、Chromeがいいと思います。
セキュリティが...という場合は、OneSafeや1Passwordというパスワード管理アプリに内蔵されているブラウザを使うことをお勧めします。予めマイネ王に登録のメールアドレスとパスワードを登録し、マイネ王のURLを登録し、テキストボックスに対応の項目を設定すると、あとは自動入力でログイン可能です。
一度お試し下さい。