マイクロSIMからナノSIMに変更する際の空白期間

よくわからないのですが、使用していた端末ZTE BLADE V6が壊れたのでiphoneを購入したということですから、SIM交換に時間がかかることを危惧するよりも少しでも早くSIM交換を申し込んだ方が良いのではないかと思います。
それとも、壊れたと言っても使用できる状態ということなのでしょうか？

使用できない期間は新しいSIMが発行されてから到着されるまでの期間です。住所にもよりますが、１～2日くらいのことが多いでしょう。
この期間が我慢できないということであれば、SIMを切るか、新規で申し込み、到着してから解約という手順を踏むのが良いでしょうね。