ゆずるね。達成出来ない

まず、アプリを終了してもバックグラウンドで通信を行っている場合があります。そのために「ゆずるね」を達成できたりできなかったりしているのだと考えられます。
次に対策ですが、「緊急の連絡」が電話であるならば電話ができればよいだけですので、12～13時は機内モードオフではなく「モバイルデータ通信をオフ」にしておきます。モバイルデータ通信をオフにしていても電話は利用することができます。
データ通信を行いたい場合ですが、wifiが利用できる環境であればwifiを利用するのが一番いいです。
wifiが利用できない場合ですが、お使いのスマホがデュアルSIM対応であれば、Povoなどの安価に運用することができるSIMを入れて、12～13時にはそちらをデータ通信に使うようにしたらよいと思います。
メールやLINE（スタンプは使わない）くらいならばPovoのトッピングなし（最大128kbps→実測60kbps位）でも利用することは可能だと思います。
以上、的外れでしたらごめんなさい。