家の離れでWi-Fiを使う～～には。。。

> それであれば普通に考えたらストレスなく繋がりますよね？＾＾：

前回のＱ＆Ａで有線接続の可能性(間違いなくそちらの方が通信品質は良い)を書きましたが「屋外経由、かつ空中配線が入る場合は要検討」と書いてませんでした。申し訳ありません。

●WLAN(無線 LAN)の中継について
　「周辺家屋でどの程度無線チャンネルを奪い合っているのか？」にも依存します。
　Wi-Fi Analyzarやら InSSIDerなどのアプリ(もしも PCをお持ちであれば PC版推奨)で
　チャンネルの混雑状況を見て設定がベストではあります。
　でも最近の WLAN APは結構賢いので機器側お任せで良いかもしれません。

> TVのほうが安いくらいですがやはりモニターのほうがよいですかね。

音質がお察しなので少々紹介しづらいですが、昨今は「TVチューナー無しTVモニタ」というものもあります。特に AndroidTVが入ってるものは最近一部で販売開始されています。

※感覚としては TVに Fire TVとか ChromeCastなどをつけた状態。
　AndroidTVであれば YouTubeやら Amazon Prime Videoの
　アカウント連携でそれらサービスを使えます。

[参考]42V型AndroidTV機能搭載フルHDチューナーレススマートテレビ
https://www.donki.com/j-kakaku/product/detail.php?item=3450

一部で NHK受信料のお話とか色々あるので、こういう製品も一般市場に出てきました。
こういうものもある、という点でコメントしました。