マイネ王から勝手にログアウトしてる

　私はマイネ王でログイン状態が解除されることはほとんどありません。PCでもスマホでも。
　セッションの寿命はサーバーの設定に依存していますが、マイネ王のログインはセッションが切れても維持されているようです。
　おそらくCookieで管理しているのだと思いますよ。
　Cookieには期限を設定できますが、マイネ王がこの機能を積極的に使っているかどうかは定かではありません。しかし、人によって短時間でログアウトしてしまうのは、別の原因があると思います。
　ブラウザによってはCookieの保持について設定があります。またこの設定をサイト毎に変更できることもあります。
　例えば添付画像の「サイトにデータの保持と読み取りを許可する」、「ブラウザを終了するまでローカルデータを保持する」は影響がありそうです。