Amazon Fire TVスティックにDHCP非対応の機器を通すとどんな問題が起こりますか？

コンテンツの内容によって、映像が映らないことが予測されますよ。
著作権保護の働いていないコンテンツなら映ると思いますが、ご自身で作成された画像なら意図しないと保護は働かせていないと思いますので、問題なく映るかと。