MymailのメールBOXの名前表示について

先日に引き続きメールアプリについて質問させていただきます。
前回ご回答いただいた皆さんありがとうございました。
前回にアドバイスいただき、違うメールアプリとして、Mymailを試しています。
そこで質問なのですが、
[1点目]
受信箱も送信済みの中のメールも全て、名前の表示がメールアドレスの表記になってしまいます。
標準メールアプリのNX!メールではちゃんとアドレス帳に登録された名前で受信できます。
どのようにしたら名前が表示されるのでしょうか？

[2点目]
メールを送信するとき、To：の+を押して、連絡先を開くと、先ほど標準のアドレス帳で消したメールアドレスが残っています。
どのような現象が起きているのでしょうか？

[3点目]
gmailを登録して、メールを送信したのですが、Gmailアプリで開いたとき送信済みや[Imap]/SENTに、その送信済メールがありません。
昨日質問させていただいたNX!メールでは送信済みや[Imap]/SENTが未読扱いになっていました。。
今回はそもそも送信済みのメールがGmailアプリの方では存在していないという感じです。

[4点目]
設定＞通知＞取り込み中というのがありますが、この取り込み中というのは何なのでしょうか？
以前、こちらでも質問されているようなのですが、あまり理解できなくて。ちなみに22:00から09:00までサイレントとなっています。
このままでもプッシュ通知の状態は保たれているということでしょうか？
22:00から翌09:00まではメールを受信してもバイブや通知音が鳴らないといことでしょうか？

以上です。教えていただきますようお願いします。