NX!メールとGメール

GmailはIMAPに対応しているので、本来は、どの端末どのアプリからアクセスしても、既読未読は同期されるはずなんです。

私はiPhoneですが、MyMailというメールアプリでGmailのメールを既読にすると、Gmailアプリでも既読になります。
パソコンのOutlookでGmailを既読にすると、スマホのGMAILやmyMailでも既読になります。
ちゃんと既読・未読は同期されます。

という訳で、既読にならないのは、NX!メールの問題なのかも知れないと思いました。
例えば、NX!メールでGmailアカウントを設定した時に、IMAPでなくPOPにした場合は同期されません。
もしIMAPで設定していても既読が反映されないとすれば、NX!メール独特のクセの可能性もあります。

その場合、NX!メールにこだわりが無ければ、myMailやK-9メールなどの有名メールアプリに変更されてみるのは、いかがでしょうか？

もう1つの可能性として、Gmailの設定でIMAPは無効になっていないでしょうか？
デフォルトはIMAP有効なので、可能性は少ないと思いますが。
パソコンのブラウザでGmailにアクセスして、歯車マーク＞設定＞メール転送と POP/IMAP＞IMAP アクセス＞[IMAP を有効にする]がオンになっているか確認下さい。
IMAPを有効にすると、（普通は）複数のアプリで既読未読は同期されるようになると思います。

なお２つ目の質問の、mineoのメールアプリは無いですよ。
メールボックスとは、mineoのメールサーバー上にある保存領域の事で、アプリの事ではないです。