cosmosiaをお使いの方にお伺いします。

私も、SHL25でCosmoshiaを利用しています。
Icloudメールのことはしりませんが、一般PCメール（楽天トラベルでの予約メールや市の防災メールなど）は、1～2分以内に届きます。
スマホ起動後、タスクマネージャで確認しましたがCosmoshiaもサービスとして立ち上がっています。
よくアプリは、終了すると本当に終了していると思われがちですが実際は終了していません。
サービスとして残っている場合も多いようです。
Cosmoshiaもサービスとして起動されたままなので、終了しても通知はされるはずです。おそらくバックグラウンド制限（データ使用量の中）となっているのではないでしょうか？
このように、アプリが本当に終了しているかどうか見た目にわかる例としては、050Plusのアプリで自動起動しないと設定しておき一旦電源をOFF にします。電源を入れて050Plusを起動すると最初の画面表示（050Plus)が表示されます。終了して再度起動すると最初のオープニング画面は表示しません。
LaLaCallの場合は、オープニング画面がないので違いがわかりませんが
どちらのアプリも一旦起動すると、終了しても実際には全てメモリー解放されるのではなく、サービスとして常駐しています。
本当にメモリー解放するには、タクスマネージャなどで開放するしかありません。