iPhone標準メーラーでプッシュ通知はicloudとoutlookだけ？

メール設定を行えば、対応しているメアド（メーラードメイン）はプッシュに設定されます。（プッシュにならないところはフェッチになります）

確認は、設定→アカウントとパスワード→下の方に「データの取得方法　プッシュ」→対応するメアド（設定の時につけたメアドに対応する名前）にプッシュ／フェッチがつきます。
さらに設定を進めるとフェッチのところはフェッチか手動の選択もできます。（手動にすると確認時しかサーバーに接続しないので電池の節約になります）

docomoのキャリアメール（spモード）はプッシュになります。