安心ナビ

実際にauの端末をマイネオにMNPしましたが、マイネオからはauIDのアプリやauスマートパスのアプリが使えないので、auスマートパスのアプリであるau安心ナビを使うことは出来ないと思います。
マイネオに乗り換えたスマホからau安心ナビのパソコンの画面を使えば見えるかもしれません。（試したことないので分かりませんが。）

代わりになるアプリですが、ガラケーには勝手に位置情報を探すアプリは入れられないので、スマホからガラケーを探すアプリはないと思います。
子供側もandroidスマホなら、位置を探すアプリはあります。
例えば、Android Managerというアプリを入れるとgoogleアカウントを使って端末を探したり、ロックしたり着信音を鳴らせたりします。