申込みと手続き

＞いつ頃からどのように申込み、手続きしたら、いいのですか？

詳しい状況が分からないので、推察しながら書きます。

使用端末がiPhone 5s auなので、「auからmineoにMNPで切替。auの更新月が4月。」と推察しました。

auの場合、月の途中で解約しても料金が日割りされないコースが多いので、「毎月1日の切替がお得」という情報もありますが、未確認です。
個人的には月末の切替を推奨します。

で、契約更新月を4月と推測し、4月末頃MNP切替の場合。

・事前に契約用のクレジットカードを準備。
　(既にある場合は不要)
　↓
・4月中旬～20日頃迄にmineoエントリーパッケージを入手。
　(amazonで購入できます。)
　↓
・手続きする前(当日か1～2日前)にau端末から157にダイヤルしてMNP予約番号を取得。
　(有効期間15日間です。申し込み時に10日以上の残期間が必要です。)
　↓
・切替希望日の1週間前までにmineoのHPに必要事項を入力
　http://mineo.jp/apply/
　入力したEメールアドレスに「仮申し込み完了」のメールが届くので、メールの指示に従い指定URLにアクセス。
　↓
・手続き完了
　↓
・1週間程度でSIMが届くので、端末に挿入して設定する。
　(この設定操作をMNP切替希望日に行って下さい。)

Eメールに関しては、現在@ezwebのアドレスを利用しているのであればアドレスは変わります。
MNP切替後は@ezwebのアドレスは使えなくなるからです。
あと、auのメールアプリを利用している場合、そのアプリも使えなくなります。

事前にフリーメール(gmail、yahooMail等)のアドレスを取得して、周囲の方に周知しておいた方が良いです。
相手のメール設定によってはフリーメール(gmail、yahooMail等)は受信拒否される事があるので。