ソフトバンク WI-FIルーター

型番/機種名がわかれば具体的な回答ができるかと思うのですが、それがわかりませんので、以下は一般的なお話になります。

モバイルルーターにもスマホ同様SIMロックがかかっていますので、そのままmineoのSIMカードを挿しても使えません。
したがって、SIMロック解除をする必要があります。
SIMロック解除の対象は、2015年5月以降に発売された機種になりますから、対象機種は501HWだけになると思います。
それ以外の機種だと、基本的には使えないと考えてください。

また、SIMロック解除対象の501HWでも、SIMロック解除はその端末をソフトバンクで使っていた契約者本人でないと対応してもらえません。
オークションでの購入ということですから、すでに契約者によってSIMロック解除がなされていることをしっかりと確認しておく必要があります。

なお、501HWの対応バンドは、バンド1、3、8となっていますので、mineoで使うとすればドコモプランになるかと思います。
しかしその場合でも、バンド19に対応していないため、使えるエリアが一部限定されることになりそうです。

ソフトバンクのルーターは対応バンドが合わないケースが多いので、
出来れば避けられた方が賢明だと思います。

どちらかといえば、auやUQのルーターの方が狙い目でしょう。
但し、動作確認機種一覧で対応しているかご確認の上お願いします。

私も昨年暮れに 303ZT をHARD OFFにて、安価に購入しましたが、Y!mobie専用機として使う予定です。ただ、そのままでは使えず、SIMロック解除が必要でした。(ネットの情報を元にごにょごにょしました。)

みなさんも言及していますが、ソフトバンク向けのルータを、docomoやauで使うには、対応バンドの面で不利ですね。

やはり、docomoのルータをmineo Ｄプランで使うのが良いかと。。。

SBのルーターは価格も安く、思わず手を出してしまいそうになりますが、mineo用にはBANDの問題とsimロックの問題がダブルで関わりますので避けられたほうが無難かと思います。
Dプランならdocomo系Xi対応ルーター、AプランならWIMAX2+対応のHUAWEI製がおすすめです。